Сборник задач по Статистике

Автор: Свык Айнур Кенесовна

Сборник заданий по теме «Основы статистики»

1. В течении недели в 8 ч утра Саша измерял температуру воздуха. Он получил такие результаты: 20°С; 18°С; 16°С; 15°С; 14°С; 17°С; 19°С. Найдите среднее значение проведенных измерений.

2. Поезд ехал со скоростью 4 ч со скоростью 64 км/ч и 5 ч со скоростью 53,2 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.

3.Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 56,4 км/ч и 4 ч со скоростью 62,7 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

4.В автомастерской работает 10 человек. У двоих из них месячная зарплата составляет 22800 р., у четверых — 28000 р., у троих 31000 р., а у одного 32000 р. Какова средняя зарплата работников мастерской?

5.Фермер собрал с каждого гектара поля площадью 30 га по 30,2 ц пшеницы, а с каждого гектара поля площадью 20 га — по 32, 3 ц пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер.

6.Среднее арифметическое четырех чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трех других чисел − 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

7.Среднее арифметическое семи чисел равно 10,2, а среднее арифметическое трех других чисел − 6,8. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

8.В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3; 5; 5; 4; 4; 4; 3; 2; 4; 5.

Какую оценку получали чаще всего? Каков средний балл сдавшей зачет группы?

 

9.Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

Найдите медиану и размах ряда.

 

10.Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169.

Найдите моду ряда и среднее арифметическое ряда.

 

11.Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (тг): 126000; 138000; 132000; 141000; 150000.

Найдите среднюю заработную плату.

 

12.Магазин продает 8 видов булочек по следующим ценам: 31; 22; 24; 27; 30; 36; 19; 27.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.

 

13.Найдите среднее арифметическое и медиану числового ряда.

9; 7; 1; 1; 11; 5; 1.

 

14.Товарные запасы хлопчатобумажных тканей в магазине за первое полугодие составили (тыс. тг) на начало каждого месяца:

 

I	II	III	IV	V	VI	VII
37	34	35	32	36	33	38

Определите средний товарный запас хлопчатобумажных тканей за первое полугодие.

15.Провели несколько измерений случайной величины: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8.

Найдите среднее арифметическое этого набора чисел.

 

16.Провели несколько измерений случайной величины: 6; 18; 17; 14; 4; 22.

Найдите медиану этого набора чисел.

 

17.Провели несколько измерений случайной величины:

800; 3200; 2000; 2600; 2900; 2000. Найдите моду этого набора чисел.

 

18.Магазин продает 8 видов хлеба по следующим ценам: 60, 75, 80, 85, 90, 100, 110, 120 тенге.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора.

 

19.Дан числовой ряд: 1; 7; 3; 8; 7; 12; 22; 7; 11; 22; 7,8.

Найдите среднее арифметическое, размах и моду.

 

20.Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:

а) среднее арифметическое;
б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;
в) сумму квадратов отклонений;
г) дисперсию ряда.

21. Вычислите дисперсию ряда чисел:

а) 6, 8, 10, 12, 9;
б) -4, -1, -2, 7, 5, 4.

22. Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него:

а) среднее арифметическое;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.

23. В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет.

 

Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:

а) среднее арифметическое месячных температур;
б) отклонения температур от среднего арифметического;
в) дисперсию.

Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии.

24. Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел:

а) -5, -8, 6, 7, 4, 3; б) 1, 0, 3, 0, 6, 4.

25. Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение.

26. Как изменится дисперсия ряда чисел

х¹, х², х³, х⁴, х⁵, х⁶,

если каждое число увеличить на положительное число а?

Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и а = 4.

Выскажите предположение и проведите доказательство.

27. Задание. Континентальный климат отличается от умеренного более резкими изменениями температуры в течение года. В районах с континентальным климатом жаркое лето и очень холодная зима. С помощью дисперсии различия между двумя видами климата можно выразить количественно. В таблице приведены средние месячные температуры в четырех городах. Определите, которые из четырех городов расположены на территории с континентальным климатом, а какие с умеренным.

 

28. В результате исследования получен статистический ряд:  Вычислить статистическую оценку математического ожидания, дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Для вычисления статистических оценок построим дискретный вариационный ряд:

 

Вычислим статистическую оценку математического ожидания:

 

вычислим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

 

29. Основные фонды предприятия города производственной и непроизводственной сферы характеризуются следующими данными:

Количество предприятий, fi	Среднегодовая стоимость основных средств предприятий в сфере, млн.руб., Хi		Производ-ственная	Непроиз-водственная	Производ-ственная	Непроиз-водственная
	Производ-ственная	Непроиз-водственная	xi *fi	xi *fi	(xi — xcp)^2*fi	(xi — xcp)^2*fi
2	2,9	0,9	5,8 (2,9*2)	1,8 (2*0,9)	31,3	7,4
3	7,1	1,2	21,3 (7,1*3)	3,6	0,2	7,9
5	10,7	2,2	53,5	11	73,9	2,0
6	6,9	3,2	41,4	19,2	0,0	0,8
7	5,1	4,2	35,7	29,4	21,6	13,2
23			157,7	65	127,0	31,4

Определить по каждому виду основных средств: средний размер основных средств на одну организацию и среднее квадратическое отклонение. Сравните вариацию, сделайте выводы.

Решение

Среднюю величину можно рассчитать по формуле средней арифметической взвешенной.

Для предприятий производственной сферы:

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

=(2*2,9+3*7,1+5*10,7+6*6,9+7*5,1)/23=6,9.

 

Для предприятий непроизводственной сферы:

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

= (0,9*2+1,2*3+2,2*5+3,2*6+4,2*7)/23=2,8.

 

Дисперсия.

Определим дисперсию.

Для предприятий производственной сферы

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

=127/23= 5,5.

 

Для предприятий непроизводственной сферы = 31,4 / 23=1,4.

Среднее квадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение находят как корень квадратный из дисперсии.

Поэтому для предприятий производственной сферы Среднеквадратическое отклонение это корень квадратный из 5,5, т.е. 2,3.

Для предприятий непроизводственной сферы Среднеквадратическое отклонение это корень квадратный из 1,4, т.е. 1,2.

 

30. Распределение фермерских хозяйств по посевной площади представлено следующими данными:

 

Посевные площади, га	До 100	100-200	200-300	300-400	400-500	500 и более	Итого
Удельный вес хозяйств, в % к итогу	17	20	28	25	7	3	100

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение посевных площадей, применив для расчета средней арифметической и дисперсии метод моментов.

Посевные площади, га	Удельный вес хозяйств, в % к итогу	середина интервала	произведение признака на частность	(xi^2)*fi
До 100	17	50	8,5	425
100-200	20	150	30	4500
200-300	28	250	70	17500
300-400	25	350	87,5	30625
400-500	7	450	31,5	14175
500 и более	3	550	16,5	9075
Итого	100		244	76300

Средняя арифметическая (начальный момент первого порядка) = 244.

Дисперсия (центральный момент второго порядка)=16764.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, т.е. из 16764=129,5.

 

31. Задание. Для проверки умения решать задачи в уме были отобраны девочки и мальчики одного возраста. Результаты исследования предоставлены в следующих таблицах:

Кол-во девочек	3	5	6	9	11	12	13	15	18
Прав. ответы	20	18	9	3	15	6	8	17	4

 

Кол-во мальчиков	2	7	8	10	12	14	16	17	19
Прав. ответы	10	19	14	4	11	9	8	7	3

Кого стоит отправлять на олимпиады и различные конкурсы? Мальчиков или девочек?

32. Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.А	19	21	19	21
Пред.Б	15	26	15	24

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

• А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
• Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

• в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
• в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

• стандартное отклонение компании A = 1,
• стандартное отклонение компании Б ≈ 5.

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

33.  Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки	Рост в миллиметрах
Ротвейлер	600
Бульдог	470
Такса	170
Пудель	430
Мопс	300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее    мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

  

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия   мм².

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм².

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

 мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

 

 

34. Изменение численности работающих характеризуется следующими данными:

Годы	Численность работающих человек
1983	746
1984	737
1985	726
1986	717
1987	738
1988	751
1989	746
1990	725
1991	693
1992	681
1993	678
1994	682
1995	597
1996	595
1997	583

·         Определить вид динамического ряда.

·         Определить аналитические показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста и прироста (цепные и базисные), абсолютное содержание 1% прироста. Результаты оформить таблицей.

·         Определить динамические средние за период.

·         Для определения тенденции изменения численности работающих произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию соответствующим математическим уравнением.

·         Определить выровненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанести их на график – с фактическими данными.

·         Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в будущем, определить ожидаемую численность работающих на ближайшие 5 лет.

35.По известным данным о размере денежных средств на счете вкладчикам на начало некоторых месяцев определите среднемесячный остаток вклада за первый квартал, за первое полугодие и за 2009 год.

Дата	01.01.2009	01.03.2009	01.04.2009	01.07.2009	01.08.2009	01.09.2009	01.12.2009	01.01.2010
Остаток	13200	14728	15187	14850	13000	11000	8050	12230

36. По следующим данным о распределении 100 работников банка по величине месячной заработной платы определите среднюю заработную плату (используя способ моментов), приходящуюся на одного работника, моду и медиану. 

 

37. Имеются следующие данные о перевозках грузов электровозами и тепловозами:

Определите среднюю дальность перевозок:

за 1 квартал;

за 2 квартал;

за полугодие.

38. По следующим данным о распределении предприятий региона по объему товарооборота, определите средний объем товарооборота, приходящийся на одно предприятие:

 

39. На фирме работает 39 человек. Проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником фирмы в течение месяца. Результаты таковы:

0,1,3,0,2,3,5,7,3,5,2,10,7,5,0,2,5,10,5,3,1,9,15,10,1,0,2,3,5,7,7,6,5,3,0,7,10,13,0.

Составить интервальный вариационный ряд. Построить функцию распределения случайной величины числа пропущенных рабочих дней.

40. Вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение по данным таблицы: 

 41. В результате обследования получены следующие данные о распределении семей по размеру совокупного дохода: 

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей
До 100	3
100-150	35
150-200	20
200-250	10
250-300	11
300-350	14
Свыше 350	7
Итого:	100

Определите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

 

42. Имеются следующие данные о возрасте работников цеха:

18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29

1.      Построить интервальный ряд распределения

2.      Графическое изображение ряда

3.      Построить гистограмму, указать моду, средние значения. Вычисления производить по двум интервальным рядам. Разбиение на интервалы производить по формуле Стерджесса и следующим образом: 18-21; 21-24; 24-27; 27-30; 30-33; 33-36; 36-39

4.      Найти среднее, моду, медиану, среднее линейное отклонение, среднее квадратичное отклонение, соотношение между модой медианой и средним

43. Имеются выборочные данные (выборка 5%-ная, механическая) об объеме реализации и сумме прибыли от реализации продукции по 40 однородным предприятиям одной из отраслей промышленности за год (тыс. тенге.)

№	Объем продукции	Прибыль от реализации	№	Объем реализованной продукции	Прибыль от реализации
1	1580	487	21	995	485
2	1960	650	22	1720	485
3	2495	790	23	1880	590
4	1320	430	24	2360	530
5	990	485	25	2830	750
6	2620	720	26	3000	740
7	1780	435	27	1770	485
8	1860	486	28	1120	435
9	1685	430	29	930	340
10	1080	430	30	1940	630
11	500	280	31	2494	620
12	1890	610	32	1885	650
13	1995	660	33	1480	545

 

44. Численность специалистов с высшим и специальным средним образованием (человек) двух регионов представлена в табл.

 

 

Дата	I регион	II регион
1 января 2000 г.	1850	1720
1 апреля 2000 г.	1866	1810
1 декабря 2000 г.	1910	1860
1 января 2001 г.	1960	1900

Требуется:

1.      сопоставить среднегодовую численность специалистов по двум регионам;

2.      определить, в каком регионе и на сколько средняя численность специалистов больше (в абсолютном и относительном выражении).