Автор: Светлана Ивановна Самсонова
Из опыта работы по учебнику Математика 6 С.М. Никольский
Тема «Проценты»
Коллектив учителей математики МБУ «Школа №93» города Тольятти на протяжении нескольких лет работает по учебнику С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин, Математика 6 класс.
Тема «Проценты», по программе изучается в начале 6 класса, и еще раз к ней возвращаемся в конце III четверти. Учебник содержит важные формулы и задачи простого и сложного процента, а также задачи на высушивание. Именно на этом этапе закладывается основа умения учеников решать задачи на проценты, которые присутствуют в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ (№11 и №17).
На уроках математики необходимо уделять много внимания устному счету. Примеры задач на проценты для устного счета:
1. Увеличить число 30, на 10%;
2. На какую десятичную дробь надо умножить число 64, чтобы увеличить его на 23%;
3. Акции компании стоили 300 рублей за одну штуку, в конце недели цена акции понизилась на 10%, сколько теперь стоит одна акция этой компании?
В качестве домашней работы я практикую творческие задания.
Пример таких заданий:
1.Составить, проиллюстрировать и решить 2 задачи на два основных типа: на нахождение процентов данного числа и числа по его процентам, используя умножение и деление на десятичную дробь.
Ребятам очень нравится выполнять такие задания, они проявляют свою фантазию и творчество, а также учатся анализировать, логически мыслить, устанавливать связь между величинами, что приводит их к пониманию самого смысла «процента», а это в свою очередь к лучшему восприятию и запоминанию действий и формул.
С учениками, которые проявляют повышенный интерес к изучению математики, в нашей школе есть возможность привлечь ресурс часов проектной деятельности и продолжать индивидуальную работу над учебными проектами более углубленно.
В качестве примера размещаю проект ученика 6 класса.
ТЕМА: «Проценты в нашей жизни».
Аннотация
Работа появилась не случайно. Мы живем в век рекламы. Она нас сопровождает на каждом шагу. К сожалению, реклама не всегда отражает истинную картину, а часто содержит ложную информацию. Детей постоянно учат дома и в школе не быть такими доверчивыми к разрекламированным продуктам, постоянно говорят о необходимости делать анализ. Эта работа как раз и является результатом анализа конкретной ситуации сложившейся в семье ученика.
Проблема: Для качественного анализа рекламной информации у учеников не достаточно знаний.
Цель этой работы заключается в следующем: Определить выгоду семьи от взятого под проценты кредита
Задачи:
1.Собрать информацию о процентах, так как знаний на данный период времени явно не хватало.
2.Исследовать реальную ситуацию с кредитом, взятым в банке под проценты.
3.Научиться решать задачи на проценты и рассмотреть ещё несколько задач на проценты.
4.Выработать ряд советов по использованию процентов
Методы и способы работы с информацией:
1.Поиск информации о процентах в библиотеке, интернете.
2.Использование статистических данных.
3.Математический расчет необходимых затрат по кредиту.
В результате работы получилось исследование на тему: «Проценты вокруг нас». Исследование содержит необходимую информацию о процентах, примеры решения задач, исследование конкретной ситуации с кредитом. Ученик сделал выводы и указал направление для дальнейшей реализации своих планов.
1. ВВЕДЕНИЕ.
Я записался в кружок журналистики. Для успешных занятий необходима видеокамера. Родители решили купить, а точнее взять камеру в кредит. Я не очень хорошо представлял, что значит взять в кредит. Родители столкнулись с изобилием предложений, каждый банк знакомил со своими более заманчивыми предложениями, чем предыдущий. После мучительных размышлений мы выбрали кредит, который назывался «10, 10, 10». Кредит состоит из 10 платежей, на 10 месяцев, под 10 %.
Я заинтересовался. Что означает слово «кредит»? Что означает под 10%? Сколько в результате мы переплатим за камеру, т. е. на сколько бюджет нашей семьи станет меньше? И действительно ли все так легко, просто и красиво обстоит с процентами, как кажется на первый взгляд?
Чтобы получить ответы на все интересующие меня вопросы мне необходимо больше узнать о процентах; исследовать реальную ситуацию с кредитом, взятом в банке под проценты; собрать и решить ряд задач на проценты.
2. Расчет кредита.
Кредит – (от латинского creditum – ссуда, от греческого credo – верю, доверяю) предоставление денег или товаров в долг и, как правило, с уплатой процента. Я решил убедиться, что кредит действительно выгоден для нашей семьи.
Стоимость товара: 23890 руб.
Скидка: 1194 руб. 50 к – 5%
Итого стоимость товара: 22695 руб. 50 коп.
Наличными заплатили: 2270 руб.50 коп.
Кредитом: 20425 руб.
В течение 9 месяцев необходимо перечислять по электронной почте сумму: 2269,22 руб., а 10 перевод в размере — 2246,75 рублей. Значит, проценты, которые возьмёт банк за предоставленный кредит составит: 22669,73 – 20425 = 2244,73 (руб.) Почта России за 10 электронных переводов тоже берёт свои проценты. За 10 переводов сумма равна: 334,47 рублей.
Общая сумма переплаты за видеокамеру составила: 2244,73 + 334,47 = 2579,2 (руб.)
Дата платежа-Сумма платежа- Сбор за почтовый перевод (в рублях)
1. ноябрь- 2269,22- 33,48
2. декабрь- 2269,22- 33,48
3. январь- 2269,22- 33,48
4. февраль- 2269,22- 33,48
5. март- 2269,22- 33,48
6. апрель- 2269,22- 33,48
7. май- 2269,22- 33,48
8. июнь- 2269,22- 33,48
9. июль- 2269,22- 33,48
10. август- 2246,75- 33,15
Итого: 22669,73- 334,47
В рекламе при покупке камеры говорилось, что кредит предоставляется под 10%,
но 2244,73 руб. – это скорее 11% от 20425 руб., чем 10 %.
А если учесть еще проценты, которые берёт почта,
(2579,2 руб. – это 12,6 % от 20425 руб.),
то в итоге можно говорить, что кредит был предоставлен под 12,6%
3. Теоретический материал по теме проекта
Проценты — одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 57,3% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 12,3%, банк начисляет 22% годовых, молоко содержит 1,5% жира, материал содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что без понимания такого рода информации в современном обществе просто трудно было бы существовать.
Еще с младших классов нам известно, что процентом от любой величины называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %. Таким образом,
Поэтому, например, надпись на этикетке «хлопок 100%» означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников. Слово «процент» происходит от латинского pro centum, означающего «от сотни» или «на 100». Проценты были известны в Индии еще в V веке. В Европе десятичные дроби, а вместе с ними и проценты, появились на 1000 лет позже — лишь в конце XV века, после того, как нидерландский математик и инженер Симон Стевин опубликовал таблицу процентов.
Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным числом. Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100.
В практической жизни полезно знать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина — 50% , четверть — 25% , три четверти — 75% , пятая часть — 20% , три пятых — 60% и т.д. Увеличить в 2 раза — это значит увеличить на 100%, уменьшить в 2 раза — это значит уменьшить на 50%.
Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется «пеня» (от латинского роепа — наказание). Так, если пеня составляет 1% от суммы квартплаты, за каждый день просрочки то за 19 дней просрочки сумма составит 19% от суммы квартплаты, и вместе, с суммой квартплаты, например, 1000 рублей человек должен будет внести пеню 0,19 • 1000 = 190руб., а всего 1190 руб.
4.Практический материал по теме проекта (сборник задач с решениями)
Задача 1. Сколько надо заплатить человеку, если его квартплата составляет 1000руб. и просрочена: а) на 5 дней; б) на 30 дней; б) на 4 месяца (120 дней)?
Получилась в точности ту же самую формулу, что и в задаче с квартплатой, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере п — число дней, а во втором п — число месяцев, в первом примере S — величина квартплаты, а во втором S — сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста. (Изучается в 6 классе, автор учебника С.М.Никольский, стр 164)
Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000руб. Какая сумма будет на его счете через полгода?
В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется, например, 30% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги — «проценты», как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 30% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты. (Изучается в 6 классе, автор учебника С.М.Никольский, стр 165)
Задача 3. Сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 руб. под 40% годовых и ни разу не будет брать деньги со счета.
Решение:
40% от 1000 руб. составляют 0,4 • 1000 = 400 руб., через год на его счете будет 1000 + 400 = 1400 (руб.)
40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 • 1400 = 560 руб., через 2 года на его счете будет 1400 + 560 = 1960 (руб.)
40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 • 1960 = 784 руб., через 3 года на его счете будет 1960 + 784 = 2744 (руб.)
Подсчитать можно проще. Через год начальная сумма увеличится на 40%, она составит 140% от начальной, или, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40% . Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,42 = 1,43 раза. Получаем решение задачи значительно более простое: 1,43 • 1000 = 2,744 • 1000 = 2744 (руб.)
Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.
Иначе говоря, при простом росте 100% — всегда начальная сумма, а при сложном росте 100% — это предыдущее значение величины.
При уменьшении величины на определенное число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус.
Задача 4. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 6000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?
Из Задачи 4 видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с условиями: какие проценты выплачивает банк — простые или сложные, платит ли он «проценты на проценты». И судить об этом надо не только по рекламе, которая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить.
Сбербанк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депозитном вкладе в течение года, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно. Можно получить доход в 172,5%
При четырехкратном вложении денег на 3 месяца:
можно получить доход в 185,61% . Все эти многократные вклады заметно превышает 150% годовых. Таким образом, вкладчики имели возможность получить выигрыш за счет более выгодного использования условий Сбербанка России.
Описанная ситуация поставила естественную задачу, которую нужно было бы решить руководству Сбербанка, если бы оно считало нежелательным многократное использование клиентами вкладов на 3 и 6 месяцев при заданной ставке годовых для вкладов на год.
Задача 5: Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший чем вклад на 1 год под р% годовых? Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший, чем вклад на 6 месяцев?
Ещё более интересной, на мой взгляд, с непредсказуемым ответом оказалась задача про вырубку соснового леса.(Задачи на «сушку». Изучается в 6 классе, автор учебника С.М.Никольский, стр 163)
Задача 6: Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
Решение:
Пусть а –100% весь лес.
а). Предположим, что леспромхоз не будет рубить сосну, тогда 100 — 99 = 1(%) — составляют деревья других пород, или, а • 0,01= 0,01 • а (штук) 100 — 98 = 2(%) — будут составлять деревья других пород после вырубки от всего леса. Найдем этот оставшийся лес: 0,01а : 0,02 = 0,5а (штук), т. е. останется пол леса.
б). Предположим, что леспромхоз будет рубить сосну, тогда он может вырубить почти весь лес, оставив 49 сосен и одну берёзу. 50 штук — 100% 49 штук – х % Х = 100 • 49 : 50 = 98(%) – составляет сосна от общего количества деревьев.
Ответ: а). если не рубить сосну, то можно вырубить половину леса; б). если будут вырубать и сосну, то можно вырубить практически весь лес, оставив лишь 49 сосен и 1 дерево другой породы.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
За 10 месяцев переплата составила – 12,6%, тогда процент инфляции за этот период составит: 12,6 – 7 = 5,6 (%) Переплата с учетом инфляции за время выплаты кредита составила: 2579,2 : 12,6 • 5,6 = 1146,3 (руб.) При покупке камеры у родителей была карточка на 5% скидку. Эта скидка позволила сэкономить 1194 руб. 50 коп., и эта скидка оказалась даже чуть больше, чем переплата по кредиту с учетом инфляции, т.е. 1194,5 — 1146,3 = 48,2 (руб.).
Поэтому, я думаю, что кредит оказался для нашей семьи выгодным. Хотя вычисления нельзя считать точными, т.к. : 1). инфляция за год еще окончательно не объявлена правительством России; 2). трудно перевести на деньги возможность использования видеокамеры в течение 10 месяцев.
Вывод: Если совокупный доход семьи выше, чем реально прогнозируемый процент инфляции, то кредит можно погасить без особых затруднений.
Изученный материал помогает реально смотреть на вещи и не идти на поводке у рекламы.
Список использованных источников:
1.М.Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике. Издательство Санкт – Петербург, 1994.
2.В.Т. Воднев и др., Основные математические формулы. Минск, Выш. Школа, 1980 – 336с.
3.Д.Я. Стройк, Краткий очерк истории математики. Москва, Наука, 1978.
4.И.Н. Петрова, Проценты на все случаи жизни. Челябинск. Южно – Уральское кн. изд., 1996.
5.С.М. Никольский,М.К.Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин, Математика 6 класс,М. Просвещение,2018.
