Автор: Гуренкова Наталья Сергеевна
Рассмотрим и проанализируем учебники по алгебре следующих авторов: Мерзляк А.Г. и другие, Ю.Н. Макарычев и другие, А.Г. Мордкович — с точки зрения выявления возможностей формирования и развития исследовательских умений, связанных с обучением решению уравнений и неравенств с параметром, а также рассмотрим тематическое планирование рабочих программ по данным учебникам, с целью анализа количества учебных часов отводимых на изучение исследуемых тем.
Из содержания всех рассматриваемых учебников мы видим: программа по алгебре для 7-9 классов в рамках реализации ФГОС способствует тому, что обучающиеся имеют возможность заниматься исследовательской деятельностью и формировать исследовательские умения при изучении уравнений с одной переменной, линейных уравнений с двумя переменными, решении и исследовании задач с помощью уравнений, понятия корня уравнения, где дети исследуют способ подстановки, способ сложения, графический способ решения систем уравнений, осваивают понятие равносильных уравнений.
При этом в ходе исследования уравнений рассматриваются свойства:
— если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
— если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Важно то, что указанные свойства уравнений можно доказать и самостоятельно исследовать, опираясь на соответствующие свойства числовых равенств.
Однако следует отметить, что почти во всех учебниках задания с параметрами встречаются в малых количествах. Также ни один из авторов анализируемых учебников не рассматривает отдельно, «что такое параметр» и не даёт алгоритма действий при решении различных уравнений и неравенств с параметрами. Однако, при подготовке и сдаче ЕГЭ обучающиеся сталкиваются с заданиями с параметрами, и естественно выполнение их вызывает затруднения.
В целом, задания у всех авторов учебников очень разнообразны и направлены на исследование уравнений, на определение количества решений, на нахождение корней и другое. Но мы в своей работе хотели бы более детально рассмотреть задания с параметрами. Именно при выполнении таких заданий у обучающихся формируются исследовательские умения.
Например, в учебнике алгебры для 7 класса средней школы Макарычева Ю.Н. под редакцией С.А. Теляковского обучающиеся в первой четверти знакомятся с уравнениями с одной переменной, т. е. уравнениями вида ах = b, где х — переменная, а и b – числа. Как видно из таблицы 4 «Тематическое планирование 7 класс» на изучение и закрепление данной темы отводится достаточно большое количество часов.
Таблица 4.
Тематическое планирование по алгебре (7 класс) по учебнику Макарычева Ю.Н.
|
№ п/п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Выражения, тождества, уравнения |
16 |
|
2. |
Функции |
14 |
|
3. |
Степень с натуральным показателем |
15 |
|
4. |
Многочлены |
16 |
|
5. |
Формулы сокращённого умножения |
18 |
|
6. |
Системы линейных уравнений. |
15 |
|
7. |
Повторение курса 7 класса |
8 |
|
|
Итого |
102 |
Уравнения этого класса допускают полное исследование (что и осуществляется в учебнике). Оформление данных уравнений играет роль образца, к которому могут быть сведены посредством простейших преобразований уравнения более широкого класса. Большая часть времени (глава III, параграф 3 и полностью глава VI), отводимого на изучение линейных уравнений по этому учебнику, используется именно на то, чтобы сформировать навыки сведения к линейным других уравнений, не входящих в этот класс. Формирование умения решать уравнения с одним неизвестным и применять данный вид уравнений к решению задач распределяется по всему курсу 7-ого класса, а на начальной стадии внимание акцентируется на раскрытии новой символики и терминологии.
Учебник алгебры А.Г. Мордковича по математическому содержанию мало отличается от учебника Макарычева Ю.Н. Однако как видно из таблицы 5 «Тематическое планирование по алгебре (7 класс)», в целом на изучение уравнений отводится больше часов.
Таблица 5.
Тематическое планирование по алгебре (7 класс) по учебнику А.Г.Мордковича
|
№ п/п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1 |
Математический язык. Математическая модель |
14 |
|
2 |
Линейная функция |
13 |
|
3 |
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. |
15 |
|
4 |
Степень с натуральным показателем и её свойства |
6 |
|
5 |
Одночлены. Арифметические операции над одночленами |
8 |
|
6 |
Многочлены. Арифметические операции над многочленами. |
15 |
|
7 |
Разложение многочленов на множители. |
15 |
|
8 |
Функция y=x2. |
8 |
|
9 |
Итоговое повторение. |
8 |
|
|
Итого |
102 |
Обучающиеся начинают знакомство с линейными уравнениями уже с I Главы. «Математический язык. Математическая модель.» § 4 «Линейное уравнение с одной переменной».
Для примера рассмотрим № 4.8
Изучив учебник и тематическое планирование по алгебре для 7 класса Мерзляка А.Г., обучающиеся имеют возможность рассмотреть класс уравнений и уравнения первой степени с одним неизвестным. Таблица 6.
Таблица 6.
Тематическое планирование по алгебре (7 класс) по учебнику .Г.Мерзляка
|
№ п/п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1 |
Линейное уравнение с одной переменной |
18 |
|
2 |
Целые выражения |
42 |
|
3 |
Функции |
15 |
|
4 |
Системы линейных уравнений с двумя переменными |
20 |
|
5 |
Повторение и систематизация учебного материала |
7 |
|
|
Итого |
102 |
Также важно отметить, что основное внимание уделяется изложению правил последовательного преобразования и исследования уравнения к всё более простому виду. Фактически при этом обучающиеся приходят к уравнению вида ах = b. Такой подход позволяет сконцентрировать внимание непосредственно на алгоритмах решения уравнений. В учебнике также исследуется вопрос о числе корней линейного уравнения, а вот уравнениям с параметром практически не уделяется внимание, что является большим упущением, так как у обучающихся практически отсутствует навык решения уравнений с параметром, необходимый для сдачи ОГЭ.
Далее в курсе алгебры 8 класса по учебнику Макарычева Ю.Н. изучаются квадратные уравнения и дробные рациональные уравнения, сводимые к линейным и квадратным уравнениям. Таблица 7. «Тематическое планирование по алгебре 8 класс»
Таблица 7.
Тематическое планирование по алгебре (8 класс) по учебнику Макарычева Ю.Н.
|
№ п/п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Повторение курса 7 класса |
5 |
|
2. |
Рациональные дроби |
17 |
|
3. |
Квадратные корни |
19 |
|
4. |
Квадратные уравнения |
21 |
|
5. |
Неравенства |
20 |
|
6. |
Степень с целым показателем. Элементы статистики |
14 |
|
7. |
Повторение |
6 |
|
ИТОГО |
102 |
А вот решению уравнений с параметром в учебнике алгебры 8 класса Ю.Н. Макарычева и других уделяется мало внимания. После теоремы Виета включены только несколько подобных заданий.
Например: № 642 QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
Таким образом, при QUOTE
Из содержания учебника и тематического планирования по алгебре 8 класса по учебнику А.Г.Мордковича наглядно видно, что на изучение, повторение и закрепление каждого тематического раздела отводится достаточно большое количество часов, приоритет делается на такие разделы, как алгебраические дроби и квадратные уравнения. Таблица 8.
Таблица 8.
Тематическое планирование по алгебре (8 класс) по учебнику А.Г.Мордковича
|
№ п/п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Алгебраические дроби |
22 |
|
2. |
Функция y = √х. Свойства квадратного корня |
16 |
|
3. |
Квадратичная функция |
19 |
|
4. |
Квадратные уравнения |
20 |
|
5. |
Неравенства |
16 |
|
6. |
Итоговое повторение |
9 |
|
ИТОГО |
102 |
После знакомства с квадратной функцией, ее свойствами и графиком встречается несколько заданий с параметрами среднего уровня трудности.
Например, №474*.
Найдите значение коэффициента с и постройте график функции
у=х²— 6х+ с, если известно, что наименьшее значение функции равно 1.
А вот в задании №521 обучающиеся должны исследовать, при каких значениях уравнение х²+ 4х — 6 = р имеет два корня.
Понятие параметра в данном учебнике вводится следующим образом:
Решите уравнение x²— (2p+1)x + (p²+p — 2) = 0.
В данном учебнике это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения (параметр). В данном случае параметр р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.
При решении квадратных уравнений А.Г. Мордкович вводит много заданий с параметрами, используя в формулировке задания само слово «параметр».
Например, №794. При каких значениях параметра р уравнение:
а) х²+ рх + 24 = 0 имеет корень равный 6;
б) 3х²+ рх -54 = 0 имеет корень, равный -5.
Авторы данного учебника очень большое внимание уделяют таким заданиям.
При рассмотрении учебника и тематического планирования по алгебре (8 класс) Мерзляка А.Г. и др. все тематические разделы изучаются углубленно.
Таблица 9. «Тематическое планирование по алгебре (8 класс)»
Таблица 9.
Тематическое планирование по алгебре (8 класс) по учебнику А.Г.Мерзляка
|
№ п/п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Рациональные выражения |
44 |
|
2. |
Квадратные корни. Действительные числа |
25 |
|
3. |
Квадратные уравнения |
26 |
|
4. |
Повторение и систематизация учебного материала |
7 |
|
ИТОГО |
102 |
Что касается, заданий с параметром, то данные задания встречаются чаще, чем в остальных учебниках. Рассмотрим некоторые из них:
№ 691 Докажите, что при любом значении m не имеет корней уравнение:
х2 + mx + m2 + 1 = 0
D=m ² — 4(m ²+1)= m² — 4 m² — 4=-3m ² — 4<0 при любом m.
№ 693 Для каждого значения а, решите уравнение:
х2 + (3а + 1) х + 2а2 + а = 0
D= (3a+1)²- 4 ·1 ·(2a²+a)=9a²+6a+1-8a²- 4a=a²+2a+1=(a+1)²
1) a+1=0; a=-1; D=0
QUOTE
=1
2) a≠-1; D>0
Таким, образом если a= -1, х=1;
если a≠-1, QUOTE
№744 При каком значении а сумма квадратов корней уравнения
х2 + (а -1) · х – 2а = 0 равна 9
Далее обучающиеся исследуют, есть ли у данного уравнения корни, при а=2, то D=17, а вот при а=-4, D=-7 уравнение не имеет корней, а значит а=-4 не подходит. Таким образом, у данного уравнения один корень- 2.
Проанализировав учебники алгебры 8 класса вышеназванных авторов, мы видим, что в целом до детей доводится понятие параметра, но системное закрепление, анализ и исследование данных уравнений практически отсутствует, что пагубно сказывается не только на формировании исследовательских умений обучающихся, но и их подготовке к единому государственному экзамену.
Учебники же алгебры для 9 классов авторов А.Г. Мордковича, А.Г. Мерзляка и др., Ю.Н. Макарычева и др. охватывают элементы теории решения целых уравнений и методы их решения: разложение на множители и замены. Для тех обучающихся, кто хочет получить более глубокие знания, приводится теорема о корне многочлена и теорема о целых корнях целого уравнения, которые позволяют расширить приёмы решения целых уравнений. Рассматриваются в учебнике и возвратные уравнения для частного случая симметрических уравнений, изучаются дробно-рациональные уравнения и методы их решения: приведение к целому виду, сведение к пропорции, замены. Обучающиеся исследуют решение уравнений с двумя переменными и систем уравнений второй степени с двумя переменными. Также авторы рассматриваемых учебников предлагают задачи, решаемые с помощью систем уравнений второй степени. Для тех, кто хочет усовершенствовать свои умения, даются приёмы решения однородных, симметрических систем уравнений второй степени, предлагается для изучения метод сведения системы к совокупности систем.
Формированию исследовательских умений обучающихся 9 класса помогает рассмотрение решения квадратных уравнений с параметрами и решения параметрических неравенств.
Из анализа учебника Ю.Н. Макарычева и тематического планирования по данному учебнику, видно, что изучению и системному закреплению каждого тематического раздела, как видно из таблицы 10, отводится примерно равное количество учебных часов. Небольшой приоритет делается на уравнения и неравенства с одной переменной и с двумя переменными.
Таблица 10.
Тематическое планирование по алгебре (8 класс) по учебнику Ю.Н.Макарычева
|
№ п\п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Повторение курса 8 класса |
4 |
|
2. |
Квадратичная функция |
18 |
|
3. |
Уравнения и неравенства с одной переменной |
20 |
|
4. |
Уравнения и неравенства с двумя переменными |
19 |
|
5. |
Арифметическая и геометрическая прогрессии |
15 |
|
6. |
Элементы комбинаторики и теории вероятностей |
17 |
|
7. |
Повторение |
9 |
|
Итого |
102 |
В дополнительных упражнениях к главе I «Квадратичная функция» встречается задания с параметром, например, такое задание:
№161. При каком значении р выражение 2рх-2х-2р-3 становится квадратным трехчленом, одним из корней которого является число нуль?
Найдите второй корень.
После изучения темы «Уравнения с одной переменной» встречаются задания следующего вида:
№210. При каких значениях b уравнение имеет два корня?
а) 2х²+6х+b = 0
б) x²+bx + 5 = 0
Из анализа учебников А.Г.Мордковича и А.Г.Мерзляка и соответственно тематического планирования по данным учебникам, видно, что изучению и системному закреплению каждого тематического раздела, как видно из таблиц 11-12, отводится примерно равное количество учебных часов, однако, учебник А.Г.Мордковича разбит на большее количество тематических разделов.
Таблица 11.
Тематическое планирование по алгебре (9 класс) по учебнику А.Г.Мордковича
|
№ п\п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Неравенства и системы неравенств |
17 |
|
2. |
Системы уравнений |
16 |
|
3. |
Числовые функции |
24 |
|
4. |
Прогрессии |
16 |
|
5. |
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей |
15 |
|
6. |
Обобщающее повторение |
14 |
|
Итого |
102 |
Таблица 12.
Тематическое планирование по алгебре (9 класс) по учебнику А.Г.Мерзляка
|
№ п\п |
Тематические разделы |
Кол-во часов |
|
1. |
Неравенства |
25 |
|
2. |
Квадратичная функция |
38 |
|
3. |
Элементы прикладной математики |
28 |
|
4. |
Повторение и систематизация учебного материала |
11 |
|
Итого |
102 |
Рассмотрим задания с параметрами из учебника алгебры 9 класса А.Г. Мерзляка и др.
№210. Для каждого значения а решите систему неравенств: QUOTE
2
а 2
Из приведённых примеров видно, что во всех учебниках задания однотипны, но доступны для анализа и самостоятельного исследования обучающимися. А значит, данные задания являются хорошим материалом для формирования исследовательских умений школьников, что так важно и значимо в рамках обучения по ФГОС.
Помогает совершенствованию исследовательских навыков обучающихся и работа над темой «Неравенства. Неравенства с параметрами».
Так, в учебнике алгебры для 8 класса А.Г. Мордковича и др. изучение темы начинается с рассмотрения понятия «линейное неравенство», затем вводится три правила для решения линейных неравенств. Рассматриваются такие темы, как линейные неравенства, квадратные неравенства, приближенные вычисления. Таблица 8.
Свойства представлены с доказательствами.
В данном учебнике А. Г. Мордковича вводятся следующие свойства числовых неравенств:
Свойство 1. Если а>b и b>c, то a>c.
По условию, а>b, т.е. а – b – положительное число. Так как b>c, то b-c –положительное число.
Сложив положительные числа а – b и b – c получим положительное число.
Имеем (а – b)+(b – c)=a – c. Значит a – c – положительное число, т.е. a>c.
Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b>c –что точка b расположена правее точки с. Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т.е. a>c.
Свойство 1 называют свойством транзитивности.
Свойство 2 Если а>b, то а + c > b+c.
Преобразуем разность (а + c) — (b+c):
(а + c) — (b+c) = а-b
По условию а>b, поэтому а-b – положительное число. Значит, и разность (а + c) — (b+c) положительна. Следовательно, а + c > b+c.
Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Свойство 3. Если a>b и m>0, то am > bm;
Если a>b и m<0, то am < bm.
Смысл свойства 3 заключается в следующем:
- Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
- Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >, > на <).
То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m.
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a>b на -1, получим – a< -b.
Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства:
если a>b, то – a< -b.
Следствие. Если a и b– положительные числа и a>b, то QUOTE
.
Разделим обе части неравенства a>b на положительное число ab:
QUOTE
.
Сократив дроби, получим, что
QUOTE
, QUOTE
Знание свойств числовых неравенств помогает работать при исследовании функций. (С неравенствами связаны такие известные свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке: ограниченность функции снизу и сверху; свойство возрастания и убывания функции.) Числовые неравенства используются при решении текстовых задач, при решении квадратных неравенств.
Обучающиеся знакомятся с такими понятиями, как числовые неравенства, линейное неравенство, квадратное неравенство, равносильные неравенства, возрастающая, убывающая функции, монотонность, приближенное значение числа.
Для решения квадратных неравенств с параметрами следует добиться осмысленного понимания и исследования алгоритма решения квадратичных неравенств вида ах2 + bх + с= 0; ах2 + bх + с 2 + bх + с ≥ 0; ах2 + bх + с ≤ 0. Для этого можно использовать наглядные пособия, для продуктивного зрительного восприятия, а так же для положительного формирования исследовательских умений в процессе логического анализа и запоминания табличных данных. Так, к примеру, расположение графика квадратичной функции QUOTE
относительно оси абсцисс в зависимости от дискриминанта D и коэффициента а удобно оформить виде таблицы, для обучающихся такая форма подачи материала будет более доступной и запоминающейся для восприятия и дальнейшего воспроизведения. Таблица 13
Таблица 13.
Расположение графика квадратичной функции QUOTE
относительно оси абсцисс в зависимости от дискриминанта D и
коэффициента а.
В курсе алгебры 8 класса Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К.И Нешкова, И.Е. Феоктистова изложение темы «Неравенства» начинается с определения понятия «число а больше b», далее рассматриваются 5 теорем и 2 следствия из них. Рассматриваются такие темы, как линейные неравенства, системы неравенств с одной переменной, неравенства с модулем. Свойства представлены в качестве теорем с доказательствами. Вводятся такие понятия, как числовые неравенства, решение неравенства, линейное неравенство, равносильные неравенства. Таблица 10.
Анализируя учебник и тематическое планирование по учебнику Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Якира М.С., видим, что изучение неравенств начинается позднее, с первых уроков уже 9 класса. Таблица 12.
В Главе I «Неравенства» рассматриваются числовые неравенства, основные свойства числовых неравенств, сложение и умножение числовых неравенств, способы доказательства неравенств, неравенства с одной переменной, решение линейных неравенств с одной переменной, числовые промежутки, системы линейных неравенств с одной переменной. Далее уже во II Главе изучаются квадратные неравенства и системы уравнений с двумя переменными.
В учебнике алгебры для 9 класса А.Г. Мордковича и других изложение темы «Неравенства» начинается с повторения линейных и квадратных неравенств, повторения правил решения неравенств. Далее рассматриваются линейные неравенства и их системы, затем множества и операции над ними. Вводятся такие понятия, как рациональное неравенство, множество, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, решение системы неравенств. Таблица 11.
Во второй главе учебника Алгебры для 9 класс. Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К.И Нешкова, И.Е. Феоктистова рассматриваются целые неравенства с одной переменной, дробно-рациональные неравенства с одной переменной, решение неравенств с переменной под знаком модуля.
В третьей главе этого же учебника представлены неравенства с двумя переменными: линейные неравенства, неравенства степени выше первой, система неравенств с двумя переменными, неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля.
В пятой главе обучающиеся знакомятся с иррациональными неравенствами.
Таким образом, из анализа учебников можно сделать вывод, что тема «Неравенства» рассматривается, как правило, в 8-9 классах. В разных учебниках сильно отличается последовательность вводимого материала. Так, например А.Г. Мордкович в 8 классе рассматривает линейные и квадратные неравенства, а в 9 классе рациональные неравенства, системы неравенств и тему «Стандартный вид числа», тогда как Ю.Н. Макарычев в 8 классе вводит линейное неравенство, системы линейных неравенств, неравенства с модулем и стандартный вид числа. А в учебнике Мерзляка все виды неравенств рассматриваются в 9 классе.
В процессе обучения обучающиеся должны усвоить, что неравенства являются средством перебора и исследования логических возможностей решения задач и построения функций.
Изучение и исследование неравенств является подготовительным этапом к решению систем неравенств и задач линейного программирования.
В процессе исследовательской деятельности обучающиеся вырабатывают прочный навык почленного вычитания, деления и умножения числовых неравенств.
В рассматриваемых учебниках достаточное количество следующих видов задач, которые способствуют формированию у обучающихся исследовательских умений:
- Задачи на сравнение.
- Задачи на оценку (исследовать произведение двух чисел, сумму двух чисел, их разность, возведение в степень числа, оценить обратное ему число.)
- Задачи на доказательство.
(1. Пусть а и b— положительные числа и a>b. Доказать, что 1/а<1/в. 2. Пусть а – положительное число. Доказать, что a+1/a
2.)
В 8 классе изучаются темы «Линейные неравенства с одной переменной», «Системы неравенств с одним неизвестным». При решении линейных неравенств с одной переменной полезно ознакомить обучающихся с алгоритмом его решения.
Материал этих тем находит применение при исследовании и решении нелинейных неравенств типа: (ax +b)(cx +d)<0; QUOTE
QUOTE
9 класс. Формируется навык проведения равносильных преобразований неравенств.
В учебнике А.Г.Мордковича в теме «Рациональные неравенства» вводится определение рационального неравенства.
Определение. Рациональным неравенством с одной переменной x называется неравенство вида h(x)>q(x), где h(x) и q(x) рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной x с помощью операции сложение, вычитание, умножение, деление.
В главе «Рациональные неравенства и их системы, линейные и квадратные неравенства» предполагается знакомство обучающихся с методом интервалов и использование этого метода при решении неравенств вида:
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
В курсе 7 класса у Ю.Н. Макарычева теория неравенств находит применение при проведении исследования функций: определения области определения и области значений функций; построения графиков не на естественных, а на ограниченных областях; влияния знаков параметра на расположение графиков в координатной плоскости (у = кх…), выяснения свойств функций…
Таким образом, анализируя изучение данной темы в 7-9 классах, приходим к выводу, что на изучение неравенств с параметром в анализируемых учебниках практически не отводится внимания.
Изучение и исследование уравнений и неравенств с параметром в курсе 7-9 классов основной общеобразовательной школы, требуют особого внимания к себе. Для их успешного решения необходимо овладеть основными приёмами и методами исследования, научиться классифицировать задания по виду и по способам решения. Это связано с тем, что каждое уравнение и неравенство с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
Анализ предыдущих результатов ОГЭ и ЕГЭ показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним, либо приводят громоздкие вычисления. Причиной этого является отсутствие системы знаний по данной теме.
Решение уравнений и неравенств с параметром требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у обучающихся при решении таких заданий, и этим же объясняется справедливое включение уравнений и неравенств с параметром в экзаменационные работы в школе.
Анализ учебной литературы показал, что почти во всех учебниках задания с параметром встречаются в небольших количествах. Также ни один из авторов этих учебников не рассматривает отдельно, «что такое параметр» и не даёт алгоритма действий при решении различных уравнений и неравенств с параметром. Однако, при подготовке и сдаче как ОГЭ так и ЕГЭ обучающиеся сталкиваются с заданиями с параметрами, и естественно выполнение их вызывает затруднения.
